[수치해석] Spectral Method란?

 원래는 Basis function(기저 함수)를 설명하는 글에서 Spectral Method까지 한 번에 정리하려고 했지만, 분량이 생각보다 길어질 듯하여, Spectral Method를 따로 설명하고자 한다. 이미 공부한 지 1년이 넘은 지금 시점에서 충분한 설명을 할 수 있을까 하는 생각도 한편 들긴 하지만... 이전 글에서 언급한 것처럼 수식적인 정확한 설명을 알고 싶은 사람들 해당 창을 끈 뒤, 다른 글이나 논문 등을 통해서 확인하기를 바란다. 본 글은 어디까지나 어려운 설명들을 다 빼버리고, Spectral Method가 이런 거구나 하고 수박 겉핥기 느낌, 혹은 어디 가서 아는 척을 할 수 있을 정도로만 적을 예정이다. 먼저, Spectral Method 하면 빼먹을 수 없는 Basis function에 대한 글은 아래 링크를 통해 확인할 수 있다. 간단한 Spectral Method에 대한 설명도 적혀있기 때문에, 본 글을 보기 전에 참고하길 바란다.

 

2025.03.30 - [잡다구리] - [수치 해석] 기저 함수(Basis function)에 대해

 

Spectral Method

 

 이전 글을 읽었다면, Spectral Method는 계수와 기저 함수의 조합으로 표현하는 방법 정도로만 알고 있을 것이다. 보다 더 상세하게 정의하자면, Spectral Method는 복잡한 미분방정식을 적절한 기저 함수들의 선형 조합으로 근사하여, 계수를 구함을 통해 전체 해를 효과적으로 얻는 수치해석 기법이다. 먼저 기본적인 Spectral Method에 대한 아이디어를 살펴보자. 

 

1. 기저 함수를 선택한다. 

2. 해를 기저 함수의 선형 결합으로 표현한다. 해가 $u(x)$일 때, 다음과 같이 근사할 수 있다.

$$u(x)\approx \sum_{k=0}^N a_k \phi_k(x)$$

3. 위의 식을 풀고자 하는 미분 방정식에 대입하고 계수 $a_k$를 계산한다.

 

 당연한 말이지만, $N$이 커질수록, 즉 기저 함수의 수가 증가할 수록 정확도는 증가한다. Spectral Method의 주요한 핵심은 복잡한 PDE를 기저 함수로 분해하여, 계수 $a_k(t)$에 대한 ODE로 바꾼다는 점이다. 무슨 말인지 모르는 것은 당연하다. PDE와 ODE가 뭔지 모르니까. 간단하게 이에 대해 짚고 가보자.

 

DE (Differential Equation) : 미분방정식, 함수와 그 함수의 도함수(변화율) 사이의 관계를 나타내는 식

ODE (Ordinary Differential Equation) : 하나의 독립 변수만 포함된 미분 방정식. 예시는 다음과 같다.

$$\frac {dy}{dt} = -2y, \quad \frac {d^2y}{dt^2} + y = 0$$

PDE (Partial Differential Equation) : 편미분 방정식, 두 개 이상의 독립 변수를 포함하고 편미분이 들어가는 방정식, 예시는 다음과 같다.

$$\frac {\partial u}{\partial t} = \alpha \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}$$

 

 당연히, 단순히 하나의 독립 변수에 대해서만 다루는 ODE와는 달리, 공간과 시간과 같이 한 번에 2개 이상의 독립 변수를 다루는 PDE의 풀이가 훨씬 어렵다. 그렇기 때문에 이런 문제에서 Spectral Method의 진가가 발휘되는 것이다. 한 번 열전도 방식에 대한 예시를 통해 구체적으로 따라가 보도록 하자.

 

Heat Equation with Spectral Method

 

 먼저 예시로 들 1차원 열전도 방정식 (Heat Equation)은 다음과 같다.

 

$$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = \alpha \frac {\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2}$$

 

 여기서 $u(x,t)$는 온도 분포를 뜻하고, 우리가 궁금해하는 풀어야 될 해이다. $\alpha$는 열 확산 계수를 뜻하고, 문제의 도메인에 대한 경계 조건은 주기적 경계 조건(Periodic Boundary Condition)을 가진다. 해당 문제는 주기적 경계 조건을 따르기 때문에, 기저 함수를 주기 함수인 푸리에 기저 함수를 사용할 수 있다. 푸리에 급수를 통해 $u(x, t)$를 다음과 같이 근사 할 수 있다.

 

$$u(x, t) \approx \sum_{k=-N}^{N} a_k(t) e^{ikx}$$

 

 이 식에서 $e^{ikx}$는 주기적이고, 직교성을 가지는 푸리에 기저 함수이고, $a_k(t)$가 우리가 구해야 하는 각 기저 함수에 대한 급수이다. 해당 계수는 $t$에 대한 종속 변수이기 때문에, 시간에 따라 변한다는 것을 알 수 있다. 우리는 해를 근사했기 때문에 처음의 열전도 방정식에 근사한 해를 대입할 수 있다. 

 

좌변 : 시간에 대해 미분 $$\frac{\partial u}{\partial t} = \sum_{k=-N}^{N} \frac {d a_k(t)}{dt} e^{ikx}$$

우변 : 공간에 대해 2차 미분 $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \sum_{k=-N}^{N} a_k(t) \cdot \frac {d^2}{dx^2} e^{ikx} = -\sum_{k=-N}^{N} k^2 a_k(t) e^{ikx}$$

 

즉, $u(x,t)$를 기저 함수의 조합으로 근사한 해를 통해, 1차원 열전도 방정식을 재정의 하면 다음과 같다. 

 

$$\sum_{k=-N}^{N} \frac {d a_k(t)}{dt} e^{ikx} = -\alpha \sum_{k=-N}^{N} k^2 a_k(t) e^{ikx}$$

 

 위의 식을 성립시키기 위해서는, 푸리에 급수의 직교성에 의해 다음과 같은 형태로 바꿀 수 있다. 푸리에 급수의 특성에 대해 설명할 생각은 없기 때문에, 궁금하면 여기까지를 복붙 한 후 챗지피티에게 물어보면 된다.

 

$$\frac {d a_k(t)}{dt} = -\alpha k^2 a_k(t)$$

 

 즉, $x$와 $t$에 대한 PDE가 단순히 하나의 종속 변수만을 가지는 ODE로 바뀐 것이다. 여기서 조금 더 풀려면 변수분리법의 개념을 쓰면 되는데, $a_k(t)$에 대한 항을 좌항으로 몰아주고, 양 변을 적분 후, 지수 함수를 취해주면, 다음과 같은 해가 나온다. 

 

$$a_k(t) = a_k(0) e^{-\alpha k^2 t}$$

 

이걸 근사시킨 해 $u(x, t)$에 넣어주면 다음과 같이 표현된다.

 

$$u(x, t) = \sum_{k=-N}^{N} a_k(0) e^{-\alpha k^2 t} e^{ikx}$$

 

 위의 식을 분석해 보면 시간에 따라 고주파 성분이 빠르게 감쇠된다는 것을 알 수 있다. k가 커질수록 고주파임을 의미하는데, $e^{-\alpha k^2 t}$에서 $k$가 커질수록 $k^2$도 커지고, $t$가 커짐에 따라 $e^{-\alpha k^2 t}$는 빠르게 0으로 수렴하기 때문이다. 이는 열전도 현상에서 급격한 파동(고주파 성분)이 더 빠르게 평준화되는 물리적인 직관과도 일치한다.

 

글을 마치며

 

 Spectral Method의 장/단점까지는 다룰까 했지만.... 이미 많은 양을 작성한 것 같은 기분이 들어, 여기서 글을 마치도록 한다. 장점이야 은은하게 다뤘기 때문에, 가장 큰 단점을 꼽자면, 기저 함수로 인한 제한된 도메인인 것 같다. 기저 함수에 의해 문제가 정의되기 때문에 도메인이 정형화되어 있달까. 복잡한 도메인에서는 적용하기가 어려운 것으로 안다. 하는 방법이야 있겠지만, 기저 함수를 엄청 복잡하게 바꿔야 되지 않을까... 이런 경우에는 Spectral Method 대신 Finite Element Method 같은 것을 쓰는 것이 정신 건강에 이로운 것으로 알고 있다.