[전자기학] 공진 주파수(Resonance Frequency)와 Q-factor에 관해

 하고 있던 연구에서 공진 주파수에 대한 이슈가 생겨 내가 뭔가 놓친 게 있나 공진 주파수에 대해 다시 공부하려던 중 예전에 임피던스 하고 리액턴스만 포스팅해 둔 걸 확인해서 다시 공부하면서 정리하고자 한다. 주로 반력이나 응력 같은 걸 주로 다루는 기계공학 입장에서는 전기 쪽 개념이 잘 안 와닿기도 한 것 같다. 움직이는 개념이 상상이 안 돼가지고.. 막연하게 지금 하고 있는 일들 끝나면 2회 차 전기 기사나 전기 쪽 산업 기사를 따볼까~~ 생각 중이긴 한데 이런 생각이 점점 더 커진다. 기계과 괜히 왔어

 

 서론은 각설하고 일단 저번에 남겼던 임피던스 관련 글의 링크를 남겨두겠다.

 

2023.10.26 - [잡다구리] - [전자기학] 임피던스(Impedance) 및 리액턴스(Reactance)에 대해

[전자기학] 임피던스(Impedance) 및 리액턴스(Reactance)에 대해

 

공진주파수(Resonance frequency) $f_0$

 

 기계과 전공에서도 공진주파수 개념을 배웠던 것 같아서 진동학, 자동제어 필기 정리했던 거를 뒤져봤는데, mck 시스템에서 사용되는 개념을 주로 배워 확실히 회로쪽하고는 사용하는 개념이 다르더라. 공진주파수에 대한 개념을 한 마디로 정의하면 여러 가지가 있지만 이를 관통하는 개념은 회로에 가장 센 전류가 흐르게 하는 주파수를 공진주파수라고 하며, 이는 회로의 고유주파수가 전원의 주파수와 동일할 때 발생한다. 이건 기계과 개념과 비슷한 거 같기도?? 공진주파수의 식은 다음과 같다. 

 

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

 

 이는 RLC 직렬 회로에서 사용되는 식이다. 공진 주파수는 유도 리액턴스(인덕턴스)와 용량 리액턴스(커패시턴스)가 같을 때 발생하는데, 이전 글의 인덕턴스와 커패시턴스를 나타내는 식을 다음과 같이 동일화한 $wL=\frac{1}{wC}$를 $w=2\pi f$로 두고 유도를 해보면 위의 식을 얻을 수 있다. 이 식이 회로의 고유주파수가 되는데, 이것이 곧 외부에서 공급해 주는 주파수와 어떤 조건의 의해 맞아야 공진주파수가 된다. 여러 글에서는 저 식을 그냥 공진주파수의 식으로 사용하는 것을 보아 필자는 그냥 회로의 고유주파수가 그 시스템의 공진주파수로 보고, 외부 작용으로 인해 공진주파수가 되도록 별도로 맞춰주는 개념이구나~라고 이해를 하였다.

 

 조금 더 현재 내 상황에 맞추어 추가적인 이해를 해보자면, 인덕턴스($L$)는 코일의 권 수에 비례한다. (이걸 쓰다 보니 생각난 건데, 저번 논문 정리를 하면서 봤었는데 기억을 못 하고 있었다.) 즉, 코일이 길수록 $L$도 커지기 때문에 공진주파수가 낮아진다. 커패시턴스($C$)의 경우 어떤 느낌인지는 감으로는 이해를 했지만, 글로 풀기까지의 세부적인 이해를 못 하기도 했고, 내 상황에 맞춰서 세부적으로 써보자니 연구에 대한 내용이 드러날 수도 있을 것 같아 일단 스킵하도록 한다.

 

품질 인자(Q-factor)

 글을 쓰다 보니 인지한 건데, 저번 논문 리뷰에서 가볍게 이번 글의 내용을 다뤘었었다. 저번 글의 서술을 끌어오자면 품질 인자, Q-factor는 무차원수로, 코일이 전력을 저장하고 전달할 때 코일 저항으로 인해 이를 소모하는 양을 나타내는 지표이다. 즉, 해당 무차원수가 높으면 에너지 손실이 적다는 것을 의미하고 반대로 낮을 경우 에너지 손실이 크다는 것을 의미한다. 찾아보며 알게 된 건데 기계공학에서는 감쇠비(damping ratio)를 주로 사용한다고 한다. 아무래도 진동학 쪽의 개념이 많이 사용되니까 그런 것 같다. Q-factor의 식은 다음과 같다.

 

$$Q-factor = \frac{Resonance frequency}{3dB bandwidth}$$

 

 Q-factor를 추출하는 법은 공식으로 보는 것보다 예제를 직접 보는 게 빠를 것 같아 예제로써 설명해 보겠다. 

출처 :  IF(중간주파수), 그 존재의 이유 (rfdh.com)

 위 그림 같은 그래프에서 공진주파수가 100 MHz이고 Peak가 15dB라고 가정을 하면, 이보다 3dB 낮은 f1을 찾는다. 이때 f1이 90 MHz라고 하면 다음과 같이 식을 세우면 된다. 

$$Q-factor=\frac{f_0}{BW}=\frac{100MHz}{100MHz-90MHz}=10$$ 

 즉 이번에 가정한 시스템의 Q-factor는 10이 되는 것이다. 공진주파수가 동일하다고 가정할 때 Peak가 날카롭게 튀었으면(폭이 좁으면) 급격하게 떨어진 것이기 때문에 분모의 Bandwidth가 줄기 때문에 Q-factor가 올라가고 반대로 완만하게 떨어지면 분모의 Bandwidth가 늘어 Q-factor는 낮아진다. 즉 3dB Bandwidth와 시스템의 에너지 손실은 비례한다. 

 

글을 마치며

 전자기학에 대한 공부를 하면 할수록 기계공학과가 아니라 전자공학과나 전기공학과로 갈 걸.. 하는 생각이 든다. 예전엔 기계공학과가 주로 취업을 하였던 자동차 업계나 그런 쪽도 차량의 전동화 ~~ 이런 식으로 전자 쪽이나 전기 쪽도 같이 뽑기도 하고 과거에 비해 기계 쪽의 풀이 줄고 전기, 전자 쪽의 풀이 늘어난 것 같다. 그렇다고 전기기사나 그런 쪽 산기 혹은 기사를 따기에는 너무 공부하기 어려울 것 같기도 하고, 고민이 많다.